Trecho de Guerra & Paz

"Guerra & Paz não é um romance, muito menos um poema,
e menos ainda uma crônica histórica. É o que o autor quis
e foi capaz de expressar, na forma em que ele o expressou."

Liev Tolstói.

Depois de ter escrito sobre o cálculo diferencial e integral aplicado ao estudo da história, no início da terceira parte do tomo III, Tolstói, lá pelas tantas, faz uso dos conceitos de mecânica na física para explicar suas ideias sobre Guerra & Paz:

[…] a ciência militar avalia a força das tropas na exata medida do seu contingente. A ciência militar diz que, quanto mais tropas, maior a força. Les gros bataillons ont toujours raison. 

Ao dizer isso, a ciência militar se assemelha à mecânica, que, apoiando-se na avaliação das forças apenas com relação à massa, diria que as forças são iguais ou desiguais entre si porque a massa é igual ou desigual. 

A força (a quantidade de movimento) é o produto da massa vezes a velocidade. 

Na guerra, a força das tropas é também o produto da massa vezes algo, uma incógnita x. 

[…] Esse x é o ânimo das tropas, ou seja, o maior ou menor desejo de lutar e de se sujeitar-se aos perigos […] 

[…] Dez homens, batalhões ou divisões combatendo quinze homens, batalhões ou divisões venceram os quinzes, ou seja, mataram e fizeram prisioneiros a todos, sem sobrar nenhum, e perderam quatro; vale dizer, foram aniquilados de um lado quatro e de outro lado quinze. Portanto, quatro foram iguais a quinze e, portanto, 4x=15y. Portanto, x:y = 15:4. Essa equação não dá o valor da incógnita, mas dá a relação entre as duas incógnitas. E, da aplicação de tais equações às unidades históricas tomadas individualmente (as batalhas, as campanhas, as fases de uma guerra), obtém-se uma série de números, nos quais devem existir certas leis, que podem ser descobertas.

A Noção de Continuidade

TEXTO AQUI.

Há diferentes modos de dizer se uma função matemática é contínua ou descontínua, pois há diferentes tipos de função. É claro que todos concordam para uma mesma função.

Este texto não contém abordagem diferente e o nível de detalhe não é maior do que os muitos textos sobre o assunto (e para acabar de lascar, as figuras foram originalmente feitas à mão, de modo que não aparecem neste PDF, embora não sejam difíceis de imaginar). Ponho aqui pq nada me custa, já que já estava escrito.

O Teorema da Função Implícita (e Inversa)

LINK PARA TEXTO COMPLETO AQUI.

Enquanto preparava o texto, encontrei poucas referências na internet. Há, é claro, muitos sites (a maioria em inglês) explicando o teorema [1] e dando exemplos de sua utilidade [2, 3, 4, 5], ou tratando de casos especiais. Alguns indicam a demonstração, mas o precedimento que mais me agradou foi aquele do livro Cálculo em Variedades, de Michael Spivak. O texto que aqui apresento contém uma demonstração seguindo de perto os passos do livro do Spivak.

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P.S. Não fiz uma nova pesquisa para saber como está agora a disponibilidade de textos sobre isso na internet, mas mesmo uma pesquisa despretensiosa encontrou um trabalho que eu não tinha encontrado antes do Prof. Doherty Andrade, da Universidade Estadual de Maringá. (O resultado mais engraçado que o Google forneceu foi este... E apareceu na primeira página de resultados! Rsrsrsrs)

Por um Aurélio mais preciso

Definição: Seja P o conjunto de problemas que dizem respeito à sociedade e S o conjunto de soluções. Considere ainda os subconjuntos Pi e Sj e suponha que exista o conjunto de funções fij: Pi --> Sj. Denominamos profissonal aquele que conhece (ou busca conhecer) pelo menos uma das funções fij e utiliza este conhecimento (ou os resultados preliminares de sua busca) para benefício de outros seres. Chamamos de profissão aquilo que o profissional faz.

Note que o dinheiro não é requisito para definir o profissional. Por ser uma parte importante do processo, o dinheiro é usado para classificar os profissionais em três subgrupos: Se um profissional recebe dinheiro de um outro profissional pré-determinado para exercer sua profissão, recebe o nome de empregado. Se, por outro lado, recebe dinheiro de alguma outra pessoa, é chamado profissional liberal. E se não recebe dinheiro de ninguém, é chamado filantropo.

Note ainda que na definição de profissão, faz-se necessário que o conhecimento (ou resultados parcias da busca deste) seja utilizado em benefício de outros seres, que não devem ser necessariamente humanos. Alguns biólogos o utilizam em benefício de animais e florestas. Uma pessoa que conhece (ou busca conhecer) algum f sem o objetivo de beneficiar outrem, é chamado culto, ou interessado no assunto. Por fim, Aquele que tem o objetivo de ajudar outros, mas simplesmente não é capaz de encontrar alguma solução e nem mesmo uma versão preliminar que se possa usar, é chamado frustrado.

Por exemplo, o artista é aquele para o qual Pa inclui coisas como estar entediado com a vida.

Outro exemplo de profissional é o professor:

Definição: Professor (ou educador) é aquele profissional para o qual P = Pe U Pa, em que Pe é o conjunto formado pelas problemas que resultam das dificuldade em se ensinar algo a outro ser humano, e Pa é o conjunto de problemas relacionados a alguma atividade.

Assim, um professor de química é aquele para o qual Pa inclui coisas como reconhecer um ácido, fabricar detergentes, classificar os diversos materias que compõem o Universo, etc. Um caso especial de professor é quando este ensina um futuro professor, i.e., Pa = Pe, ao qual denominamos professor de pedagogia.

O aluno é a criatura que é beneficiada diretamente pela atividade do professor. Em outras palavras, o aluno é aquele que provoca os problemas listados em Pe. De modo que o "ser humano" que consta na definição de Pe não é outro senão este a quem nos referimos por "aluno".

2 + 2 = 5

Na época em que eu dava aulas particulares, ao final de uma delas, a mãe da garota insistiu para que eu esperasse por um lanche. Enquanto esperávamos, fiz esta demonstração para a garota (1º ano do ensino médio, ela fazia):

Você certamente concorda que:

16 - 36 = 25 - 45

e é claro que podemos adicionar um mesmo número aos dois lados da equação, mantendo a igualdade:

16 - 36 + 20,25 = 25 - 45 + 20,25

ou, só reescrevendo de outro modo,

(4)² - (2).(4).(4,5) + (4,5)² = 5² - (2).(5).(4,5) + (4,5)²

neste ponto, usamos a fórmula (a - b)² = a² + 2.a.b + b²:

(4 - 4,5)² = (5 - 4,5)²

ou,

[(2 + 2) - 4,5]² = [5 - 4,5]²

tirando a raiz quadrada dos dois lados, concluímos que:

2 + 2 - 4,5 = 5 - 4,5

finalmente, somando nove meios aos dois lados da equação, encontramos:

2 + 2 = 5

... Ela olhou pra mim e, com cara de preocupação, disse: "E se cair na prova? Ponho 4, ou 5?".

E o salário, óóóóóó


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Certamente, há um erro em algum lugar. O desafio é achá-lo. Tente encontrá-lo antes de ver a resposta.

Números interessantes

TEOREMA: Todo número natural é interessante.

PROVA: Seja D={n°, n¹, n², n³, ...} o conjunto dos números desinteressantes. Por tratar-se de números naturais, podemos supor que estão em ordem crescente. Nesse caso, n° é interessante por ser o menor número natural desinteressante. Recursivamente, chegamos à conclusão que D deve ser um conjunto vazio (pois, se for unitário, o tal único número desinteressante seria interessantíssimo!). Q.E.D.

:-P

Cubo mágico: Bincadeira séria

Aquele maldito cubinho colorido cujo objetivo é deixar todas as faces iguais é também chamado de Cubo de Rubik (foi inventado em 1974 pelo húngaro Erno Rubik).

A novidade é que cientistas da Universidade de Northeastern, nos Estados Unidos, encontraram um algoritmo para solucioná-lo fazendo apenas 26 movimentos, independentemente do estado em que o cubo se encontra no início. Os caras usaram teoria de grupos e computadores para testar 100 milhões de movimentos por segundo... Isso faz eu me sentir melhor... Nunca consegui nada além de uma face naquela porcariazinha irritante! Rsrsrsrs

Em 1997, Richard Korf afirmou que a solução ótima para o problema é com apenas 18 movimentos!

... e quem quiser que tente aí: entrar na história é com vocês!

Matemática e Física

Depois de anos de trabalho
Fez o carpinteiro um dia
Uma ferramenta de belo talho
Que não tinha serventia.

Mas o objeto era bem feito
E encantou toda a cidade
Apesar do grande defeito
De não ter real utilidade.

Colocaram até um encarte
Procurando quem soubesse dizer
O que, com essa obra de arte,
Deveríamos então fazer.

Até que um dia surgiu
Um nobre e sábio cidadão
Com um problema sutil
E tal ferramenta era a solução.

É esse busca incessante
Da mais perfeita união
Que torna o mundo fascinante
E dá à minha vida uma direção.