ARTIGO DETALHADO SOBRE O TEOREMA
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No semestre passado, fiz uma disciplina de Introdução aos Métodos Matemáticos da Relatividade Geral, em que se focava (como o nome sugere) nos aspectos puramente matemáticos da teoria de Einstein. Ao fim do curso, tivemos que apresentar alguns seminários e a maioria de nós escolheu temas "físicos". Fomos orientados pelo professor da disciplina (João Carlos Barata) a abordar o tema sob um ponto de vista matemático, evitando sempre usar justificativas físicas para as afirmações e buscando ser o mais geral possível.
Escolhi falar sobre o teorema de Birkhoff, que diz algo bastante simples a primeira vista: "
Uma configuração esfericamente simétrica de massa dá origem à um campo gravitacional esfericamente simétrico". Mais do que isso,
o teorema afirma ainda que essa solução não muda com o passar do tempo (em outras palavras, impondo apenas uma simetria esférica, obtém-se uma simetria de tranlação no tempo "de brinde"... o "brinde" é uma consequência das equações de Einstein para o campo gravitacional). Mostrar isso com rigor matemático é complicado pq em relatividade geral não temos uma métrica específica e é necessário ser bem cuidadoso com o que entendemos por "esfericamente simétrico"...
Este teorema tem o seu paralelo na teoria Newtoniana da gravitação. O próprio Newton mostrou em seus
Principia que podemos considerar toda a massa de uma configuração esférica concentrada no seu centro para efeitos de cálculos e que se estivermos no interior de uma casca esférica não sentiremos os efeitos gravitacionais desta casca. Estes mesmos resultados valem na teoria de Einstein devido ao teorema de Birkhoff.
A maioria dos livros de relatividade geral demonstram o teorema de Birkhoff, mas partem do pressuposto de que é possível escrever a métrica do espaço-tempo na sua forma diagonal. Uma demonstração rigorosa deste fato é feita no livro de Hawking e Ellis, de 1973. Entretanto, os autores assumem explicitamente a simetria esférica, quando a versão mais geral do teorema diz respeito a um grupo de Lie qualquer e essa análise mais geral está num artigo de Bernd Schmidt (1967).
Para escrever o trabalho, fiz pesquisas na internet e encontrei pouquíssimas referências e não lembro de ter encontrado a demonstração completa em nenhum lugar além destes dois que citei no parágrafo anterior. Disponibilizo, então aqui o texto do meu seminário, baseado na demonstração do Hawking/Ellis, sendo, entretanto, mais detalhado e contendo o teorema mais geral, referente à álgebras de Lie diferentes de SO(3). O texto não contém a demonstração da versão geral do teorema, mas os argumentos para demonstrá-lo são bem parecidos com aqueles do caso particular.
Bom, o texto está em
www.fma.if.usp.br/~leandro/diversos.html, juntamente com outros (que serão adicionados em breve)
