ARTIGO DETALHADO SOBRE O TEOREMA AQUI. (em PDF.)
No semestre passado, fiz uma disciplina de Introdução aos Métodos Matemáticos da Relatividade Geral, em que se focava (como o nome sugere) nos aspectos puramente matemáticos da teoria de Einstein. Ao fim do curso, tivemos que apresentar alguns seminários e a maioria de nós escolheu temas "físicos". Fomos orientados pelo professor da disciplina (João Carlos Barata) a abordar o tema sob um ponto de vista matemático, evitando sempre usar justificativas físicas para as afirmações e buscando ser o mais geral possível.
Escolhi falar sobre o teorema de Birkhoff, que diz algo bastante simples a primeira vista: "Uma configuração esfericamente simétrica de massa dá origem à um campo gravitacional esfericamente simétrico". Mais do que isso, o teorema afirma ainda que essa solução não muda com o passar do tempo (em outras palavras, impondo apenas uma simetria esférica, obtém-se uma simetria de tranlação no tempo "de brinde"... o "brinde" é uma consequência das equações de Einstein para o campo gravitacional). Mostrar isso com rigor matemático é complicado pq em relatividade geral não temos uma métrica específica e é necessário ser bem cuidadoso com o que entendemos por "esfericamente simétrico"...
Este teorema tem o seu paralelo na teoria Newtoniana da gravitação. O próprio Newton mostrou em seus Principia que podemos considerar toda a massa de uma configuração esférica concentrada no seu centro para efeitos de cálculos e que se estivermos no interior de uma casca esférica não sentiremos os efeitos gravitacionais desta casca. Estes mesmos resultados valem na teoria de Einstein devido ao teorema de Birkhoff.
A maioria dos livros de relatividade geral demonstram o teorema de Birkhoff, mas partem do pressuposto de que é possível escrever a métrica do espaço-tempo na sua forma diagonal. Uma demonstração rigorosa deste fato é feita no livro de Hawking e Ellis, de 1973. Entretanto, os autores assumem explicitamente a simetria esférica, quando a versão mais geral do teorema diz respeito a um grupo de Lie qualquer e essa análise mais geral está num artigo de Bernd Schmidt (1967).
Para escrever o trabalho, fiz pesquisas na internet e encontrei pouquíssimas referências e não lembro de ter encontrado a demonstração completa em nenhum lugar além destes dois que citei no parágrafo anterior. Disponibilizo, então aqui o texto do meu seminário, baseado na demonstração do Hawking/Ellis, sendo, entretanto, mais detalhado e contendo o teorema mais geral, referente à álgebras de Lie diferentes de SO(3). O texto não contém a demonstração da versão geral do teorema, mas os argumentos para demonstrá-lo são bem parecidos com aqueles do caso particular.
Bom, o texto está em www.fma.if.usp.br/~leandro/diversos.html, juntamente com outros (que serão adicionados em breve)
No semestre passado, fiz uma disciplina de Introdução aos Métodos Matemáticos da Relatividade Geral, em que se focava (como o nome sugere) nos aspectos puramente matemáticos da teoria de Einstein. Ao fim do curso, tivemos que apresentar alguns seminários e a maioria de nós escolheu temas "físicos". Fomos orientados pelo professor da disciplina (João Carlos Barata) a abordar o tema sob um ponto de vista matemático, evitando sempre usar justificativas físicas para as afirmações e buscando ser o mais geral possível.
Escolhi falar sobre o teorema de Birkhoff, que diz algo bastante simples a primeira vista: "Uma configuração esfericamente simétrica de massa dá origem à um campo gravitacional esfericamente simétrico". Mais do que isso, o teorema afirma ainda que essa solução não muda com o passar do tempo (em outras palavras, impondo apenas uma simetria esférica, obtém-se uma simetria de tranlação no tempo "de brinde"... o "brinde" é uma consequência das equações de Einstein para o campo gravitacional). Mostrar isso com rigor matemático é complicado pq em relatividade geral não temos uma métrica específica e é necessário ser bem cuidadoso com o que entendemos por "esfericamente simétrico"...
Este teorema tem o seu paralelo na teoria Newtoniana da gravitação. O próprio Newton mostrou em seus Principia que podemos considerar toda a massa de uma configuração esférica concentrada no seu centro para efeitos de cálculos e que se estivermos no interior de uma casca esférica não sentiremos os efeitos gravitacionais desta casca. Estes mesmos resultados valem na teoria de Einstein devido ao teorema de Birkhoff.
A maioria dos livros de relatividade geral demonstram o teorema de Birkhoff, mas partem do pressuposto de que é possível escrever a métrica do espaço-tempo na sua forma diagonal. Uma demonstração rigorosa deste fato é feita no livro de Hawking e Ellis, de 1973. Entretanto, os autores assumem explicitamente a simetria esférica, quando a versão mais geral do teorema diz respeito a um grupo de Lie qualquer e essa análise mais geral está num artigo de Bernd Schmidt (1967).
Para escrever o trabalho, fiz pesquisas na internet e encontrei pouquíssimas referências e não lembro de ter encontrado a demonstração completa em nenhum lugar além destes dois que citei no parágrafo anterior. Disponibilizo, então aqui o texto do meu seminário, baseado na demonstração do Hawking/Ellis, sendo, entretanto, mais detalhado e contendo o teorema mais geral, referente à álgebras de Lie diferentes de SO(3). O texto não contém a demonstração da versão geral do teorema, mas os argumentos para demonstrá-lo são bem parecidos com aqueles do caso particular.
Bom, o texto está em www.fma.if.usp.br/~leandro/diversos.html, juntamente com outros (que serão adicionados em breve)
5 comentários:
A limitação é patética...
Não entendi...
(Meu propósito com este blog é receber críticas. Mas eu tinha em mente alguma crítica coerente... Sei que seria pedir demais se pedisse que arranjasse coragem pra se apresentar, mas peço ao menos que reformule sua opinião.)
Para que?
Para você responder com suas frases prontas?
Se nao ha propositos, qual o motivo da critica? Ou vc ainda estah naquela fase tenra em que diziamos "E tua mae eh feia e teu pai eh feio e vc eh um bobao". E achamos que nos demos muito bem na "discussao"?
Nao tenho tantas frases na cabeca. As palavras estao prontas, mas uma resposta depende da pergunta e eh bondade sua imaginar que eu jah pensei previamente sobre todo e qualquer tipo de perguntas possiveis. Nao sou assim tao... tao... (como diria??).... ilimitado.
Ah! E o proposito de eu pedir para reformular sua opiniao nao eh fazer uso das minhas limitadas frases jah prontas, na esperanca de que sua critaca seja tal que eu jah tenha a resposta pronta. O proposito seria melhorar, reformular e aprender algo de vc, que vc compartilhasse sua visao de mundo. Mas comeco a crer que seu objetivo nao eh melhorar nada.
Nao havendo propositos nem pra mim, nem pra vc, fico por aqui desejando que dedique seu tempo a ler alguma outra coisa na net. Ha muitas coisas boas por ai, mas temo lhe informar que sao todas elas limitadas, ainda que vc nao consiga ver os limites.
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